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Aire du trapèze

l’aire d’un trapéze

Parmi les figures géométriques, le trapèze est redouté, à l’école primaire et même au collège. Par contre, il n’est pas si pénible si vous maîtrisez bien la définition et les quelques propriétés. Il est souvent utilisé dans des problèmes liés au champ de culture. La définition suivante n’est cependant pas à appliquer de façon carrée, elle n’est que générale. Un trapèze est un plan qui contient au moins deux côtés parallèles. Les parallélogrammes sont donc des trapèzes. Il appartient à la famille des quadrilatères, c’est-à-dire des polygones à quatre côtés (carré, rectangle, parallélogramme, trapèze, etc.).

Aire d un trapèze : Comment construireLes côtés parallèles sont appelés les bases du trapèze. Ces deux côtés, n’ont pas la même longueur sinon la figure serait un simple parallélogramme ; le plus court est appelé la petite base b’ et le plus long la grande base b. La hauteur h du trapèze est la droite perpendiculaire qui relie par ses extrémités les deux bases. Les diagonales sont les deux droites qui relient deux sommets non-consécutifs.

De par cette définition, on distingue trois types de trapèze, dont les trapèzes quelconques, le trapèze isocèle et le trapèze rectangle. Un trapèze quelconque possède deux côtés parallèles et deux bases (AB>CD)
Un trapèze est isocèle s’il répond aux propriétés suivantes :

  • Les deux angles adjacents à la même base sont égaux
  • Les deux côtés non parallèles sont isométriques ou ont la même longueur
  • Les deux diagonales sont isométriques
  • Les deux bases du trapèze ont la même médiatrice qui constitue l’axe de symétrie du trapèze
  • Il est inscriptible dans un cercle

Il est par ailleurs à préciser qu’un parallélogramme n’est pas un trapèze isocèle, par contre, un rectangle en est un. Un trapèze est isocèle s’il est symétrique par rapport à la médiatrice des deux bases.

Par ailleurs, un trapèze rectangle est un trapèze ayant deux angles droits.

Comment construire un trapèze quelconque ?

Pour construire un trapèze, il faut se munir d’outils tels qu’une règle, un compas ou un rapporteur d’angle ainsi qu’une équerre. Selon la définition, il suffit de construire deux droites parallèles de longueurs différentes et d’en relier les extrémités.
Méthode avec l’équerre et la règle

Tracez un segment AB quelconque. Placez le sommet de l’angle droit d’une équerre sur l’extrémité du segment AB et tracez un segment, que vous marquerez, à partir de cet angle. Sur la précédente marque, tracez encore une fois un angle droit avec l’équerre, où vous obtiendrez la droite DC parallèle à AB. Reliez les extrémités A à D et B à C de sorte que les deux bases auront des longueurs différentes.

Méthode avec le rapporteur d’angle et la règle

Méthode avec le rapporteur d’angle et la règleDe la même manière que précédemment, tracez un segment AB qui correspond à la grande base avec la règle.  Placez le rapporteur à l’extrémité du segment et tracez un angle quelconque.

Complétez la longueur de l’oblique AD avec la longueur désirée. Répétez ces étapes avec l’autre extrémité de la grande base et joignez les deux obliques pour avoir la petite base DC. A partir de ces méthodes de construction, voici quelques théorèmes autours du trapèze.

Le théorème d’alignement

Soit le trapèze ABCD. Les deux côtés BC et AD se coupent en M. Les deux diagonales se coupent en S. Les milieux des bases AB et CD sont respectivement N et T. Le théorème d’alignement stipule que les points M, S, N et T s’alignent parfaitement.

Toute chose égale par ailleurs, un quadrilatère est un trapèze si et seulement si les points N et T appartiennent à la droite (MS).

Théorème de la médiane du trapèze

La médiane, étant aussi l’axe de symétrie du trapèze, est la droite qui coupe les deux bases en leur milieu. Cette théorème annonce que la médiane MN est parallèle aux bases (AB//DC//MN).

La médiane découpe le trapèze en deux demi trapèzes.  Les deux demi trapèze AMND et MBCN ont la même aire.

Comment calculer la surface ?

Comment calculer la surfaceLa surface ou l’aire du trapèze est donnée par la formule suivante : Aire = [(b+b’)*H]/2, c’est-à-dire le produit de la moitié des sommes des bases avec la hauteur. L’aire est toujours exprimée en unité au carré des valeurs. Pour démontrer cela, il est facilement remarquable que le trapèze est découpé en un rectangle où l’on accole deux triangles rectangles des deux côtés.

L’aire d’un trapèze quelconque peut donc être calculée en le découpant en triangles et rectangle. Donc, l’aire du trapèze est équivaut à la somme de l’aire du rectangle et des aires des deux triangles rectangles. Rappelons cependant que l’aire d’un triangle vaut le produit de la base à la hauteur divisé par deux, et l’aire d’un rectangle le produit de la base avec la hauteur.

  • Dressons les nomenclatures suivantes :
  • AB= b est la grande base
  • DC=b’ est la petite base
  • HD=h est la hauteur où H est un point d’AB qui est relié par une droite perpendiculaire à D. AHD forme un trangle rectangle
  • KC est aussi égal à la hauteur h, où K est un point de AB. CKB forme aussi un triangle rectangle.
  • La somme des aires de ces deux triangles est : (AH+KB)*h/2= (b-b’)*h/2

HKCD forme un rectangle où sa surface est égale à b’*h

  • La somme des aires des triangles et de l’aire du rectangle est alors :

Aire (ABCD) =[ (b * h)+b – (b’ * h)]/2 = [b+(b’ * h)]/2

  • Décomposition d’un trapèze en deux triangles

Il est aussi possible de calculer l’aire du trapèze en le décomposant en deux triangles de même hauteur h. En traçant une diagonale, nous obtenons deux triangles ABC et ACD dont les bases sont respectivement la grande base b pour le triangle ABC et la petite base b’ pour ACD.

  • L’aire du trapèze équivaut à la somme des aires des deux triangles est alors :

Aire(ABCD) = aire (ABC) + aire (ACD) = [(b * h)/2] +[(b’ * h)/2] = [ (b+b‘)h/2]

  • Voici un exemple numérique

Supposons que les quatre côtés du trapèze ABCD sont donnés : AB=b= 15 cm, CD=b’=11 cm, h=7cm

Aire (ABCD) = ((15+11)*7)/2= 91 cm²