Aire d’un cercle - image

Aire d’un cercle

Au collège et au lycée, le calcul de l’aire d’un cercle est un grand classique dans les mathématiques. La formule est relativement simple et se fait comme suit : A(Aire) = Pi2. Pour ce faire, il est important de connaître la mesure du rayon. Cette formule permet d’évaluer la surface ou l’aire grâce au diamètre, à la circonférence, et même au secteur du cercle.

L’aire d’un cercle

Comment évaluer l’aire d’un cercle à partir du rayon

Le rayon ou r est la longueur qui est stérée entre le centre du cercle et tout autre point qui est tracé dans le cercle. Afin de mieux évaluer la longueur du rayon, il est possible de prendre n’importe lequel sur le cercle, car il faut dire qu’il y a des milliers de possibilité. Si vous prenez la mesure d’un point du cercle à son opposé en passant par le centre, vous obtiendrez le diamètre. Sa formule ? D = 2r.

Aire d’un cercle - formuleDans un problème mathématique, le rayon est indiqué à l’avance, car il n’est pas évident de le mesurer sans savoir au préalable la position exacte du centre du cercle.

  • Si par exemple r = 4 cm ; A= Pir2 ; r2= 52= 25.

Attention, il est important de n’enlever que le r au carré et non tous les éléments. Ensuite, il faut multiplier par pi, qui est une constante mathématique correspondant au rapport du rayon du cercle par son aire. La valeur la plus commune est 3.14. Pour cette valeur donc :

  • A = Pi*r2
  • A = Pi*52 ou A = 25 * 3.14.

On notera qu’une aire est toujours évaluée en une unité de mesure carrée. Dans un problème mathématique, il y a deux possibilités de réponses, qui sont toutes les deux correctes :

  • A = 25pi cm2 ou A = 78.5 cm2.

Utiliser le diamètre à bon escient

Si vous remarquez, dans certains exercices mathématiques, on ne vous donnera pas le rayon du cercle mais plutôt son diamètre. Parfois vous devrez le mesurer avec une règle directement sur la figure géométrique. Comme exemple, prenons un cercle avec 30 cm de diamètre.

Selon la définition, un diamètre vaut deux rayons, ainsi, le rayon est égal à la moitié du diamètre. Si le diamètre est énoncé clairement dans la consigne, vous devez le diviser par deux pour avoir le rayon. Si on prend 30 cm, le diamètre sera donc 15 ou 30/2 cm. Ici, on reprendra la même formule de base soit A = Pir2. Il ne vous suffira que de remplacer r par sa valeur soit 15 cm. Ce qui nous donnera le calcul suivant : A = Pi152 ou 225Pi.
Il ne faut pas oublier qu’une aire est toujours évaluée en unité carrée. La réponse finale sera donc A = 100Pi cm2. Cette réponse est la valeur exacte mais vous pouvez donner une valeur approximative en multipliant 225 par 3.14.

La place de la circonférence dans le calcul de l’aire d’un cercle

Si dans un problème, la circonférence, vous est donné et que l’on vous demande de calculer son aire, alors, il est important de savoir modifier la formule de base de l’aire. Nous faisons référence à la formule avec le rayon.

  • La formule sera comme suit : A = C2/ 4Pi.

La place de la circonférence dans le calcul de l’aire d’un cercle

Au quotidien, il n’est pas toujours évident d’évaluer précisément le diamètre ou le rayon d’un cercle ou d’un disque. Si le diamètre n’est pas clairement donné, il ne sera pas évident de bien le déterminer. Généralement, il sera plus facile de prendre la circonférence d’un objet que son diamètre.

Voici un exemple concret : Prenons la mesure de 40 cm de circonférence pour un cercle.

En vous référant au calcul de l’aire d’un cercle, vous n’allez plus prendre en considération le rayon mais sa circonférence. La formule de la circonférence se fait comme suit :

  • C = Pi*d

La formule de la circonférence se fait comme suit

Et comme vous le savez, le diamètre est égal à deux fois le rayon ou d = 2*r. En alliant ces deux formules vous allez donc obtenir :

  • C = 2Pir

Si vous exprimez r dépendamment de C et de Pi, vous obtiendrez :

  • C = pi2R ou r = C / 2Pi

Changez ensuite la formule de base de l’aire d’un cercle, qui peut être exprimée en fonction du rayon ou de la circonférence. Si A = Pir2, il ne vous suffira que de remplacer r par son expression soit : A = Pi (C/ 2Pi)2 ou A = Pi ( C2/4PI2).

En faisant une simplification, nous obtenons : A = C2/4Pi. Il ne vous restera plus qu’à utiliser cette nouvelle formule afin de calculer l’aire d’un cercle. Dans le cas où vous connaissez la circonférence, cette formule est de mise. Remplacez C par sa valeur. Ici, on a pris C = 40 cm ou A = 402/ 4Pi.

Utiliser un secteur pour calculer la surface d’un cercle

calculer la surface d’un cercleDans certains exercices de mathématiques, on vous demandera de calculer l’aire d’un cercle avec comme seule donnée, le secteur de ce cercle. Dans l’exemple ci-après prenons une aire de 10 Pi cm2.

Nous parlons d’un secteur circulaire ou une partie d’un cercle ayant pour limite deux rayons et la portion de circonférence qui les connecte.

Il existe une formule simple qui vous permettra de connaître l’aire d’un cercle si vous savez son secteur et son angle. Autrement dit l’aire totale = Aire du secteur * 360 / Angle du secteur.