La règle de trois ou produit en croix - image

Produit en croix

Le produit en croix, aussi appelé la règle de trois ou règle de proportionnalité est une formule apprise en mathématiques élémentaires. C’est une technique qui permet de connaître une 4ème proportionnelle. Pour expliquer plus clairement, dans un problème donné, vous connaissez trois nombres : a, b et c. Le produit en croix vous donnera ainsi la possibilité de déterminer le nombre d, selon que (a,b) soit proportionnel à (c,d).

PRODUIT EN CROIX


  • Le nombre d est donc égal b multiplié par c/ (divisé) par a.

La règle de trois ou produit en croix est une technique qui est donc utilisé afin de venir à bout de problèmes de proportionnalité à l’instar du prix à payer en fonction du poids, de la distance parcourue en fonction du temps et bien d’autres cas similaires où une valeur est à trouver en fonction d’éléments donnés à l’avance. En somme, vous pouvez retrouver le produit en croix dans divers calculs comme celui relatif au pourcentage, les problèmes de conversion d’unités ou encore dans le cas de l’application du théorème de Thalès et dans la colinéarité.

Généralités sur la règle de trois

On utilise le produit en croix ou la règle de trois quand il existe une proportionnalité indéniable entre deux variables comme le prix à payer dépendamment de la quantité achetée ou encore la distance de deux lieux dans un problème relatif à l’échelle. La règle de trois s’explique donc facilement dans les problèmes suivants :

  • Cas n°1 : supposons que deux kilos de peintures coûtent 10 euros, combien coûterait donc 1.5 kg ? Le prix à payer pour 1.5 kg est donc : 1.5 * 10 / 2 = 7.5 euros.
  • Cas n°2 : un plan est à notre disposition avec une échelle qui indique que 3 km sur une carte valent 12 km sur le terrain. Comme information, on nous a donné le fait que la distance entre deux villes est de 11 cm sur le carte et on cherche à établir la distance à vol d’oiseau, voilà comment se fera le calcul : la distance à vol d’oiseau est = 11 * 12 / 3 = 44 km.

Les produits en croix

Il est à noter que la règle de trois est le plus souvent représentée par le produit en croix. Concrètement, nous avons droit à un tableau de proportionnalité à quatre cases. Le produit des termes dans la première diagonale est égal au produit des termes dans l’autre diagonale. Auparavant, on l’appelait « égalité du produit des extrêmes et du produit des moyens ». Si on reprend l’exemple ci-dessus :

Masse en kg

Prix en euros

2

10

1.5

X

Les produits en croix permettent donc d’établir ce type d’équation :
1.5 * 10 + 2 * X d’où X = 1.5 * 10 / 2. Pour être plus précis, le total résulte donc du produit entre les deux termes d’une diagonale et en divisant par le terme qui reste.

La méthode de la réduction à l’unité

Saviez-vous qu’une autre méthode met à disposition des élèves une autre possibilité qui remplace la règle de trois par une règle de six ? Cette technique vise à utiliser une unité. Autrement dit,

  • Dans le cas n°1

2 kilos de peinture il faut débourser 10 euros ; pour 1 kilo de peinture, il faut donc deux fois moins d’argent ou 10 / 2 euros ; et pour 1.5 kilos de peinture il faut 1.5 fois plus d’euros soit 10 * 1.5 / 2 euros.

  • Dans le cas n°2

3 cm sur la carte valent 12 km sur le terrain
1 cm sur la carte représente donc trois fois moins de km sur terrain ou 12 / 3 km.
11 cm sur la carte représentent donc 11 fois plus de km ou 12* 11 / 3 km.

L’usage du coefficient de proportionnalité

Il faut savoir que cette technique du coefficient de proportionnalité prend en considération le tableau de proportionnalité. Comment ? En ce sens que dans un tel tableau, le passage d’une ligne ou d’une colonne à une autre se fait en multipliant par un coefficient constant ou coefficient de proportionnalité. Notre étude se base toujours sur les exemples cités ci-dessus. Ainsi, dans le cas n°1, vous retrouverez le tableau suivant :

Masse en kg

Prix en euro

2

10

1.5

X

Mathématiquement parlant, le coefficient de proportionnalité pour aller de la première à la seconde colonne est de 5, autrement 10/2 car 10 est le résultat du produit entre 5 et 2. Justement, c’est ce même chiffre 5 qui permet d’aller de 1.5 au nombre voulu soit 5 * 1.5.
Il en est de même pour passer de la première à la seconde ligne. Le coefficient de proportionnalité est de 1.5/2 car 1.5 est égal à 1.5/2 * 2. C’est cette même valeur qui permet de passer de 10 au nombre voulu soit 1.5 * 10 / 2.

La place de la proportionnalité dans la règle de trois

Lorsque l’on utilise une règle de trois, on suppose qu’il y a une proportionnalité entre les éléments. Toutefois, le fait de remplir un tableau à 4 cases ne sous-entend pas toujours le fait qu’il y ait une réelle proportionnalité et peut conduire à certaines erreurs et incompréhensions.

Voici un problème qui permettra de démontrer cela :

Supposons que 8 salariés préparent un exposé en 9 jours, combien mettront 10 salariés pour faire le même travail ?

Nombre de salariés

8

10

Temps

9

?

Avant d’entamer un calcul, il est important de savoir si on double le nombre de travailleurs, le temps de travail va-t-il lui aussi doubler ? La réponse sera bien entendue « non » et la règle de trois n’a pas lieu d’être. Le problème de la proportionnalité n’est pas toujours prouvé car même dans la vie quotidienne, il n’y a pas toujours de proportionnalité entre la quantité acquise et la somme déboursée.

Les extensions à la règle de trois

  • Cas de la règle de trois inverse

Prendre un exemple ici, suffira à mieux démontrer la règle de trois inverse. Supposons que 10 pâtissiers ont pu monter un superbe gâteau à étage en 12 jours ; combien de temps prendront donc 6 ouvriers ? Le calcul se fera donc comme suit : 10 * 12 = 120 hommes * jours. Le temps recherché pour effectuer le travail est donc le suivant : 6 * t = 120 donc t = 20 jours. La règle de trois s’établira donc comme suit : t = 10 * 12 / 6 = 20. Il faut donc 20 jours pour 6 pâtissiers.

La méthode de la réduction à l’unité

  • Cas de la règle de trois composée

Prenons cet exemple : si 20 personnes travaillent à raison de 8 heures par jour ont pris 10 jours pour goudronner une route longue de 100 m. Combien faut-il d’employés travaillant 6 heures par jour pour goudronner en 12 jours une route de 80 m ?

Selon cet exemple donc, il faut plus d’ouvriers si la longueur à goudronner augmente. Par contre, il faut moins de personne si la durée de travail par jour augmente ou si le nombre de jours pour réaliser les travaux augmente.

Le nombre d’ouvriers requis est donc : N= 20 * 80/100 ÷ (6/8 * 12/10) = 20*80*8*10 / 100 * 6 * 12 = 17 ouvriers.  La règle de trois dans les lycées et collèges

Le produit des moyens et des extrêmes

La quatrième proportionnelle est un problème assez complexe et ancien. Supposons 4 éléments : a, b, c et d. Ils sont proportionnels si a est à b, ce que c est à d. Cette règle appelée aussi égalité des produits en croix équivaut au fait que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
La règle de trois elle, est établie comme suit depuis le 13ème siècle : le 1er et le 3ème nombre doit être de la même nature que le 2nd avec le 4ème. Ainsi, le produit du 1er nombre par le 4ème doit être égal au produit du second par le 3ème. Pour trouver le 4ème parallèle, il suffira donc de multiplier le 3ème nombre par le 2nd et de le diviser par le 1er afin d’obtenir le 4ème.