Aire d’un cercle – Simulateur en ligne

Ecrit par Jean Rouillard

Au collège et au lycée, le calcul de l’aire d’un cercle est un grand classique dans les mathématiques. La formule est relativement simple et se fait comme suit : A(Aire) = Pi2. Pour ce faire, il est important de connaître la mesure du rayon. Cette formule permet d’évaluer la surface ou l’aire grâce au diamètre, à la circonférence, et même au secteur du cercle.

L’aire d’un cercle

Qu’est-ce qu’un cercle ?

Un cercle est une forme géométrique simple, avec des distances régulières. Le centre de ce dernier (plus souvent nommé O) dispose d’un rayon R qui correspond à la distance entre le centre du cercle et les points qui le constituent. Tous les points qui constituent le cercle sont donc équidistants par rapport au centre.

Une droite passant par le centre du cercle (O) et reliant deux points du cercle est appelée le diamètre D. La longueur du diamètre D est égale à 2 fois la longueur du rayon R.

Formule de calcul de l’aire d’un cercle

Pour calculer l’aire d’un cercle, il est important d’avoir des informations précises sur ledit cercle. Le plus important étant de connaître le Rayon afin de pouvoir appliquer la formule :

  R² x π

Il est à noter que la valeur la plus proche de π est de 3,14159265358979323846.

Comment évaluer l’aire d’un cercle à partir du rayon ?

Le rayon ou r est la longueur qui est stérée entre le centre du cercle et tout autre point qui est tracé dans le cercle. Afin de mieux évaluer la longueur du rayon, il est possible de prendre n’importe lequel sur le cercle, car il faut dire qu’il y a des milliers de possibilité. Si vous prenez la mesure d’un point du cercle à son opposé en passant par le centre, vous obtiendrez le diamètre. Sa formule ? D = 2r.

Aire d’un cercle - formuleDans un problème mathématique, le rayon est indiqué à l’avance, car il n’est pas évident de le mesurer sans savoir au préalable la position exacte du centre du cercle.

  • Si par exemple r = 4 cm ; A= Pir2 ; r2= 52= 25.

Attention, il est important de n’enlever que le r au carré et non tous les éléments. Ensuite, il faut multiplier par pi, qui est une constante mathématique correspondant au rapport du rayon du cercle par son aire. La valeur la plus commune est 3.14. Pour cette valeur donc :

  • A = Pi*r2
  • A = Pi*52 ou A = 25 * 3.14.

On notera qu’une aire est toujours évaluée en une unité de mesure carrée. Dans un problème mathématique, il y a deux possibilités de réponses, qui sont toutes les deux correctes :

  • A = 25pi cm2 ou A = 78.5 cm2.

Utiliser le diamètre à bon escient

Si vous remarquez, dans certains exercices mathématiques, on ne vous donnera pas le rayon du cercle mais plutôt son diamètre. Parfois vous devrez le mesurer avec une règle directement sur la figure géométrique. Comme exemple, prenons un cercle avec 30 cm de diamètre.

Selon la définition, un diamètre vaut deux rayons, ainsi, le rayon est égal à la moitié du diamètre. Si le diamètre est énoncé clairement dans la consigne, vous devez le diviser par deux pour avoir le rayon. Si on prend 30 cm, le diamètre sera donc 15 ou 30/2 cm. Ici, on reprendra la même formule de base soit A = Pir2. Il ne vous suffira que de remplacer r par sa valeur soit 15 cm. Ce qui nous donnera le calcul suivant : A = Pi152 ou 225Pi.
Il ne faut pas oublier qu’une aire est toujours évaluée en unité carrée. La réponse finale sera donc A = 100Pi cm2. Cette réponse est la valeur exacte mais vous pouvez donner une valeur approximative en multipliant 225 par 3.14.

La place de la circonférence dans le calcul de l’aire d’un cercle

Si dans un problème, la circonférence, vous est donné et que l’on vous demande de calculer son aire, alors, il est important de savoir modifier la formule de base de l’aire. Nous faisons référence à la formule avec le rayon.

  • La formule sera comme suit : A = C2/ 4Pi.

La place de la circonférence dans le calcul de l’aire d’un cercle

Au quotidien, il n’est pas toujours évident d’évaluer précisément le diamètre ou le rayon d’un cercle ou d’un disque par exemple. Si le diamètre n’est pas clairement donné, il ne sera pas évident de bien le déterminer. Généralement, il sera plus facile de prendre la circonférence d’un objet que son diamètre.

Voici un exemple concret : Prenons la mesure de 40 cm de circonférence pour un cercle.

En vous référant au calcul de l’aire d’un cercle, vous n’allez plus prendre en considération le rayon mais sa circonférence. La formule de la circonférence se fait comme suit :

  • C = Pi*d

La formule de la circonférence se fait comme suit

Et comme vous le savez, le diamètre est égal à deux fois le rayon ou d = 2*r. En alliant ces deux formules vous allez donc obtenir :

  • C = 2Pir

Si vous exprimez r dépendamment de C et de Pi, vous obtiendrez :

  • C = pi2R ou r = C / 2Pi

Changez ensuite la formule de base de l’aire d’un cercle, qui peut être exprimée en fonction du rayon ou de la circonférence. Si A = Pir2, il ne vous suffira que de remplacer r par son expression soit : A = Pi (C/ 2Pi)2 ou A = Pi ( C2/4PI2).

En faisant une simplification, nous obtenons : A = C2/4Pi. Il ne vous restera plus qu’à utiliser cette nouvelle formule afin de calculer l’aire d’un cercle. Dans le cas où vous connaissez la circonférence, cette formule est de mise. Remplacez C par sa valeur. Ici, on a pris C = 40 cm ou A = 402/ 4Pi.

Ne plus avoir peur de la géométrie et des maths

Au début, il est compréhensible d’avoir peur des mathématiques ou de la géométrie en particulier, car il est difficile pour certains d’imaginer un point dans l’espace, et encore moins une forme dans l’espace. Raison pour laquelle il est important de toujours chercher des formes géométriques autour de soi. Pour mieux assimiler ses cours et surtout comprendre la géométrie, il est conseillé de suivre certains conseils pratiques tels que:

  • La prise de conscience des formes, en les schématisant devant soi ou en les créant à l’aide de formes trouvées dans sa maison ou créées avec du papier.
  • Prendre le temps de bien assimiler la terminologie relative à chaque forme (droite, centre, rayon, diamètre …)
  • Comprendre et mettre en oeuvre chaque formule sans l’apprendre bêtement pour l’oublier deux minutes plus tard.
  • Mettre en avant la pratique et l’entraînement, afin d’avoir toujours la main et pratiquer au maximum ses règles de géométrie.
Jean Rouillard

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Jean Rouillard

Jean apporte une riche expérience dans le domaine de l'éducation nationale en tant que responsable éditorial. Sa mission consiste à garantir l'exactitude et la fiabilité de toutes les informations communiquées aux lecteurs sur le site. Grâce à sa solide expérience dans ce domaine, il veille à ce que le contenu que nous proposons soit informatif et de qualité.

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